ZERO Ｇ 考

 今、乗ってるエレベーターのケーブルが切れ、自由落下するとする。中に居る人は、無重力状態を経験する。何故～？
（答え）地球中心から中に居る人までの距離をｒとし、地球質量をＭ、中に居る人の質量をｍ、ケーブルが切れる前の位置をｘとすると、Ｇを万有引力定数として、

ｍ＊d²ｘ/dt²＝－ＧｍＭ/r²　⇒　

d²x/dt²＝ｇ、ｇ＝－ＧＭ/r²（地表付近の重力の加速度≒9.8m/s²）

今、エレベーターの中でのケーブルが切れてからｔ秒後の人の位置をx'とすると、

x'=ｘ－gt²/2
従って、d²ｘ’/dt²＝d²ｘ/dt²－ｇ＝０。故に、位置x'で人は加速度（＝０）を感じない。

以上

塩の柱考

（問題）地表に塩（Nacl）の円柱を垂直に立てた場合、高さ何ｍまで可能か？
（答え）約24465m（24.465km)
（根拠）塩のモル質量を58.44g/mol、溶ける温度を1413℃≒1686°K、塩分子の密度をｎ個/m³とする。
①底面から⊿ｘ ｍ の高さの円柱に含まれる塩の分子数は、円柱の底面積をS m²とすると、Ｓ＊⊿ｘ＊ｎ。従って、これを溶融するのに必要な仕事量は、(S＊⊿ｘ＊ｎ＊1686)＊k。ここで、ｋはボルツマン定数≒1.38＊10^(-23) J/K
②一方、高さｈ m の柱の質量、S＊ｈ＊ｎ＊0.05844 kg/molに働く重力は、(S＊ｈ＊ｎ＊0.05844)＊9.8。ここで、9.8 m/s²、は重力加速度。
③この柱が⊿ｘ沈んだ時の仕事量Ｗは、Ｗ＝(S＊ｈ＊ｎ＊0.05844/mol)＊9.8＊⊿ｘ。
④従って、溶けるか溶けないかの均衡点では、(S＊⊿ｘ＊ｎ＊1686)＊k＝(S＊ｈ＊ｎ＊0.05844/mol)＊9.8＊⊿ｘが成り立つから、h＝1686＊(1.38＊10^(-23))＊(6.022＊10^(23))/(9.8＊0.05844)≒24464.77 m。尚、6.022＊10^(23)はアボガドロ数。
以上

気体分子の平均運動エネルギー考

それは、３ｋＴ/２、で表される。ここで、ｋはボルツマン定数、Ｔは絶対温度。
（根拠）
①今、一辺の長さがＬの立方体の箱を考え、質量がｍ（kg）の気体粒子がＮ個入っているとする。
②その粒子が箱の壁に衝突する速度をｖ＝（ｖ₁、ｖ₂、ｖ₃）(m/s)とし、取り敢えず１方向だけを考えると、気体が一粒子から受ける運動量は、跳ね返りがあるので、２ｍｖ₁。
③この粒子がｔ秒間に進む距離はｖ₁ｔであり、壁に衝突するのは１往復に１回。従って、ｔ秒間に衝突する回数は、ｖ₁ｔ/2L。
④この粒子がｔ秒間に壁に与える運動量は、２ｍｖ₁＊ｖ₁ｔ/2L＝ｍｖ₁²＊ｔ/Ｌ。
⑤この粒子がＮ個あるのだから、Ｎ個分（箱内の全ての粒子の）の１方向だけの運動量ｐは、ｖ₁²の平均を＜ｖ₁²＞と表せば、ｐ＝Ｎ＊ｍ＜ｖ₁²＞＊ｔ/Ｌとなる。
⑥力Ｆは、運動量の時間微分、Ｆ＝ｄp/dtであるから、１方向全体に働く力は、Ｆ＝Ｎ＊ｍ＜ｖ₁²＞/Ｌ。
⑦壁への圧力をＰ(pa)とすると、圧力の定義より、Ｐ＝Ｆ/Ｌ²＝Ｎ＊ｍ＜ｖ₁²＞/Ｌ³。Ｖ＝Ｌ³であるから、Ｐ＝Ｎ＊ｍ＜ｖ₁²＞/Ｖ。
⑧ｖ²＝ｖ・ｖ＝ｖ₁²＋ｖ₂²＋ｖ₃³（内積）であるから、＜ｖ²＞＝＜ｖ₁²＞＋＜ｖ₂²＞＋＜ｖ₃³＞　且つ、＜ｖ₁²＞＝＜ｖ₂²＞＝＜ｖ₃³＞。即ち、＜ｖ²＞＝３＜ｖ₁²＞。
⑨従って、Ｐ＝Ｎ＊ｍ＜ｖ₁²＞/Ｖ＝Ｎｍ＜ｖ²＞/３Ｖ＝(2N/3V)＊ｍ＜ｖ²＞/2（運動エネルギーを出すための変形）。
⑩よって、運動エネルギーｍ＜ｖ²＞/2＝(3/2)＊ＰＶ/Ｎ。
⑪理想気体の状態方程式は、ＰＶ＝ｎＲＴ。ここで、ｎは物質量、Ｒはモル気体定数(8.314 J/K/mol)。
⑫故に、ｍ＜ｖ²＞/2＝(3/2)＊Ｒ/(N/n)＊Ｔ、N/nはアボガドロ数(6.02＊10²³/mol)
ここで、ｋ≡Ｒ/(N/n)≒1.38＊10^(-23) J/Kであるから、ｍ＜ｖ²＞/2＝(3/2)ｋＴ。
以上