気体分子の平均運動エネルギー考

それは、３ｋＴ/２、で表される。ここで、ｋはボルツマン定数、Ｔは絶対温度。
（根拠）
①今、一辺の長さがＬの立方体の箱を考え、質量がｍ（kg）の気体粒子がＮ個入っているとする。
②その粒子が箱の壁に衝突する速度をｖ＝（ｖ₁、ｖ₂、ｖ₃）(m/s)とし、取り敢えず１方向だけを考えると、気体が一粒子から受ける運動量は、跳ね返りがあるので、２ｍｖ₁。
③この粒子がｔ秒間に進む距離はｖ₁ｔであり、壁に衝突するのは１往復に１回。従って、ｔ秒間に衝突する回数は、ｖ₁ｔ/2L。
④この粒子がｔ秒間に壁に与える運動量は、２ｍｖ₁＊ｖ₁ｔ/2L＝ｍｖ₁²＊ｔ/Ｌ。
⑤この粒子がＮ個あるのだから、Ｎ個分（箱内の全ての粒子の）の１方向だけの運動量ｐは、ｖ₁²の平均を＜ｖ₁²＞と表せば、ｐ＝Ｎ＊ｍ＜ｖ₁²＞＊ｔ/Ｌとなる。
⑥力Ｆは、運動量の時間微分、Ｆ＝ｄp/dtであるから、１方向全体に働く力は、Ｆ＝Ｎ＊ｍ＜ｖ₁²＞/Ｌ。
⑦壁への圧力をＰ(pa)とすると、圧力の定義より、Ｐ＝Ｆ/Ｌ²＝Ｎ＊ｍ＜ｖ₁²＞/Ｌ³。Ｖ＝Ｌ³であるから、Ｐ＝Ｎ＊ｍ＜ｖ₁²＞/Ｖ。
⑧ｖ²＝ｖ・ｖ＝ｖ₁²＋ｖ₂²＋ｖ₃³（内積）であるから、＜ｖ²＞＝＜ｖ₁²＞＋＜ｖ₂²＞＋＜ｖ₃³＞　且つ、＜ｖ₁²＞＝＜ｖ₂²＞＝＜ｖ₃³＞。即ち、＜ｖ²＞＝３＜ｖ₁²＞。
⑨従って、Ｐ＝Ｎ＊ｍ＜ｖ₁²＞/Ｖ＝Ｎｍ＜ｖ²＞/３Ｖ＝(2N/3V)＊ｍ＜ｖ²＞/2（運動エネルギーを出すための変形）。
⑩よって、運動エネルギーｍ＜ｖ²＞/2＝(3/2)＊ＰＶ/Ｎ。
⑪理想気体の状態方程式は、ＰＶ＝ｎＲＴ。ここで、ｎは物質量、Ｒはモル気体定数(8.314 J/K/mol)。
⑫故に、ｍ＜ｖ²＞/2＝(3/2)＊Ｒ/(N/n)＊Ｔ、N/nはアボガドロ数(6.02＊10²³/mol)
ここで、ｋ≡Ｒ/(N/n)≒1.38＊10^(-23) J/Kであるから、ｍ＜ｖ²＞/2＝(3/2)ｋＴ。
以上